1. INTRODUCCIÓN
En el lenguaje cotidiano
la palabra caos, del griego khaos, significa desorden mientras que su
antónimo cosmos, del griego kósmos, significa orden.
Los griegos afirmaron erróneamente en base a sus observaciones que los movimientos de los astros eran perfectos y ordenados, mientras que los movimientos de los cuerpos terrestres eran violentos y caóticos.
Los griegos afirmaron erróneamente en base a sus observaciones que los movimientos de los astros eran perfectos y ordenados, mientras que los movimientos de los cuerpos terrestres eran violentos y caóticos.
El caos en Física no tiene
el mismo significado que en el lenguaje cotidiano. Por lo tanto, un sistema
caótico no es un sistema desordenado o que se va desordenando, sino
determinista, impredecible, no azaroso, no lineal y que presenta sensibilidad a
las condiciones iniciales.
Un sistema caótico no
necesariamente tiene que ser un sistema complicado, como se verá más adelante, pues los fenómenos caóticos pueden surgir de sistemas aparentemente sencillos como
un péndulo doble simple, el goteo de un grifo o tres cuerpos que interaccionan
gravitacionalmente entre sí.[1]
Aunque por supuesto también complicados como la atmósfera, la economía, la
dinámica de poblaciones, etc.
En realidad, el Cosmos no
es ordenado y muchos sistemas gravitacionales muestran comportamientos
caóticos.
El caos físico nos rodea
por todas partes, haciendo imposible realizar predicciones del estado de un
sistema caótico a largo plazo: cómo estará la Bolsa en un futuro, la estabilidad
del sistema solar a muy largo plazo, el estado del tiempo en las próximas
semanas[2],
etc.
Por sus fuertes
implicaciones a la hora de comprender el mundo, la Teoría del Caos es
considerada la tercera revolución de la Física en el siglo XX tras la
Relatividad y la Mecánica Cuántica.
2. ANTECEDENTES HISTÓRICOS
La concepción mecanicista
del Universo que surgió de los trabajos de Newton, como la Mecánica Clásica y
Ley de la Gravitación Universal; y Descartes, quien afirmó que el Universo era
una máquina de relojería perfectamente predecible y Dios un relojero, llevó al
matemático y físico francés Laplace (1749-1827), considerado el padre del
determinismo, a enunciar que “Una inteligencia que en un instante dado
supiera todas las fuerzas que actúan en la Naturaleza y su posición y velocidad
de cada objeto en el Universo – si estuviese dotada de un cerebro
suficientemente vasto para hacer todos los cálculos necesarios – podría describir
con una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos astronómicos y de
los átomos más pequeños. Para tal inteligencia, nada sería cierto, el futuro,
como el pasado, serían un libro abierto”. El determinismo fue hegemónico
durante los siguientes siglos, dominando la Filosofía de la Ciencia y la
Física.
El caos físico fue
descubierto por el científico Edward Lorenz en 1963 cuando resolviendo las
llamadas ecuaciones de Lorenz, que describen el comportamiento de las corrientes de convección atmosféricas, observó que si redondeaba las condiciones
iniciales con las que partía el sistema de las millonésimas a las milésimas, un cambio apenas perceptible,
los resultados diferían muchísimo entre sí cuando pasaba un tiempo lo
suficientemente largo.
Imagen 1: Ecuaciones de Lorenz, son un sistema de ecuaciones diferenciales
no lineales acopladas de primer orden, no entraremos en su significado físico.
Como buen científico,
Lorenz repitió sus simulaciones más veces obteniendo siempre resultados muy
distintos cuando variaba ligeramente las condiciones iniciales con las que
comenzaba su sistema. Esto le llevó a enunciar el famoso efecto mariposa,
tan mal malinterpretado, que afirma que “el aleteo de una mariposa en Tokyo
puede provocar un huracán en Nueva York”. Evidentemente, esta afirmación no
es correcta y Lorenz simplemente buscaba resaltar una de las características
más importantes de los sistemas caóticos: su sensibilidad a las condiciones
iniciales.
Imagen 2: Atractor de Lorenz, que por su forma da nombre al efecto
mariposa. Se observa cómo a pesar de ser un sistema caótico el resultado tiende
a un conjunto de valores numéricos para un importante rango de condiciones
iniciales, de ahí el nombre de atractor.
En realidad, el caos ya
había sido intuido por otros científicos como el matemático Henri Poincaré
(1854-1912), el cual se preguntó por la estabilidad del Sistema Solar a largo
plazo y se propuso resolver el problema de los tres cuerpos, para darse cuenta
de que su evolución era impredecible debido a la sensibilidad de este sistema a
las condiciones iniciales.
Imagen 3: Posibles trayectorias en el estudio del problema de los tres
cuerpos. Las diferencias se deben a variaciones mínimas en las condiciones
iniciales. Solo se muestran soluciones cerradas, para las que el sistema es
estable.
Por otro lado, cabe
destacar al matemático polaco Mandelbrot, que descubrió los fractales en 1975,
objetos de dimensión no entera que suelen presentar la propiedad de
autosemejanza, teniendo la misma forma a diferentes escalas. Aunque éstos ya
habían sido intuidos en los siglos anteriores. Los fractales, del latín fractus que significa fracturado o quebrado, son unos objetos
matemáticos muy interesantes, relacionados con el caos y tienen múltiples
aplicaciones en Informática, Arte, …, además de aparecer en la naturaleza:
hojas, copos de nieve, etc.
Imagen 4: Conjunto de Mandelbrot. Si se hace zoom a alguna de sus partes la
figura se repite a diferentes escalas.
3. LA TEORÍA DEL CAOS
Como se ha visto anteriormente,
un sistema caótico es aquel que cumple las siguientes condiciones:
a) Determinista: su estado
final está determinado por su el inicial y su evolución está dada por una o
varias ecuaciones matemáticas.
b) No azaroso: no depende
del azar ni está relacionado con probabilidades.
c) No lineal: las
ecuaciones que describen la evolución del sistema son no lineales, es
decir, un cambio en una de sus variables produce un cambio no proporcional en
el valor de la función que describe el sistema.
d) Impredecible: es
imposible determinar su estado final, a pesar de ser determinista, debido a la sensibilidad
a las condiciones iniciales que presenta el sistema.
Imagen 5: Evolución temporal de un sistema caótico, se puede observar como
un ligero cambio
en las condiciones iniciales
produce una evolución muy distinta cuando pasa un tiempo suficiente.
La contradicción entre que
el sistema sea determinista pero impredecible se resuelve con la condición de
que presente sensibilidad a las condiciones iniciales.
4. ESTUDIO DE UN SISTEMA CAÓTICO SENCILLO
Como se ha afirmado
anteriormente, un sistema puede presentar un comportamiento caótico sin que por
ello sea especialmente complicado.
Un ejemplo de esto es la
llamada Ecuación logística, propuesta por el biólogo Robert May en 1976
para modelizar la dinámica de una población en ecosistemas cerrados.
La Ecuación logística
es una ecuación discreta, por lo que avanza por pasos o etapas y no es
continua. Adopta la siguiente forma:
xk+1=u*xk*(1-xk)
Donde xk
es el número de insectos en una generación, xk+1 el
de la siguiente generación y u es un parámetro de control que puede
valer entre 0 y 4.[3] Como se puede observar esta ecuación presenta una forma
sencilla y es no lineal.
Si se calcula el valor de xk+1
dado un valor inicial x0 entre 0 y 1 para un conjunto de
valores de u tras un número suficientemente grande de iteraciones, se
puede observar que:
1) Para valores de u
entre 0 inclusive y 1 sin incluir y dado un x0 cualquiera, el
valor de xk+1 tiende a cero, es decir, la población se
extingue irremediablemente, tiene por lo tanto un comportamiento predecible y
no caótico.
Imagen 5. Se observa cómo la población termina desapareciendo. En este caso se ha iniciado con un valor de x0 de 0.7, pero el resultado es independiente de este valor.
2) Para valores de u
entre 1 sin incluir y 3 inclusive y dado un x0 cualquiera, el
valor de xk+1 tiende a un valor fijo dado por (u-1)/u, tiene
por lo tanto un comportamiento predecible y no caótico.
Imagen 6: Se observa cómo la población tiene a un valor
estable tras cierto tiempo, independientemente del x0 inicial
3) Para un valor de u
entre 3 y 3.56994546 y dado un x0 cualquiera, el valor de xk+1
oscila entre varios valores, llamados ciclos, que pueden ser de orden dos,
cuatro, ocho, … en definitiva 2k, tiene por lo tanto un
comportamiento predecible y no caótico.
Imagen 7: Se observa cómo la población oscila entre dos
valores (ciclo de orden 2) tras cierto tiempo, independientemente del x0 inicial
4) Finalmente, para
ciertos valores de u entre 3.56994546 y 4, el valor de convergencia de xk+1
es muy distinto en función del valor inicial x0 dado, y para
dos valores iniciales muy parecidos el sistema termina evolucionando de manera
muy distinta, presentando ahora sí un comportamiento caótico.
Imagen 8: Se observa cómo para dos valores iniciales muy
parecidos la evolución del sistema es muy distinta pasado un tiempo
Para poder seguir con el
estudio del caos se puede recurrir a los llamados Diagramas de Feigenbaum,
también conocido como Diagrama de Bifurcaciones, que sirven para visualizar el
caos. Para ello se deben representar los valores del parámetro de control u
frente a los puntos atractores xk+1, que no son más que los
valores convergentes o cíclicos a los que tiende la población.
Imagen 9: Diagrama de Feigenbaum de la ecuación
logística, se observa como a partir de 3.56994546 comienzan zonas de caos. Cabe
aclarar que para cada valor de u están contenidos todos los posibles
valores de x0
Hay zonas que son caóticas
porque se observan infinitos puntos para un mismo valor de u y otras
donde no existe caos, ya que se tiende a un único punto o se oscila entre
varios de ellos.
Esta gráfica es mucho más rica
de lo que parece, pues presenta la propiedad de autosemejanza a distintas
escalas cuando se hace zoom en las bifurcaciones.
Además, este diagrama
esconde otro secreto. Si se calcula el coeficiente de separación entre las
sucesivas bifurcaciones se obtiene la llamada constante del caos o número
de Feigenbaum, el cual es independiente del sistema caótico que se esté
estudiando y cuyo valor es 4.6692…
No tiene relación con
otras constantes fundamentales físicas y parece que es una constante
fundamental del Caos y de la Naturaleza.
5. FRACTALES
Curiosamente, existen unos
objetos geométricos que suelen presentar la propiedad de autosemejanza y tienen
la peculiaridad de que su dimensión geométrica es no entera, a estos objetos se
les denomina fractales.[4]
Queda patente que debe
existir una relación estrecha entre el caos y los fractales, los cuales están
presentes en la Naturaleza.
Algunos de los fractales inventados, construidos mediante infinitas iteraciones, más importantes son:
Imagen 10: Copo de nieve de Koch. Su dimensión es 1,26186…
Imagen 11: Triángulo de Sierpinski de dimensión 1.5849…
En la Naturaleza también podemos encontrar objetos de geometría fractal como:
Imagen 12: Hojas
Imagen 13: Brécol
Imagen 14: Rayos
Además de las grietas en
una sequía, las nubes, los copos de nieve, … estos objetos presentan la
propiedad de autosemejanza dentro del rango macroscópico, pues si fuéramos
haciendo zoom lo dejarían de ser al llegar a nivel atómico.
Por otro lado, el problema de la medida
de la línea de costa de Gran Bretaña también está relacionado con los
fractales. Resulta que cuanto más pequeña es la vara de medir que se
utiliza para determinar la longitud de la línea de costa de Gran Bretaña, o de
cualquier otro país, mayor es el resultado obtenido, pareciendo que tienda a
infinito. Esto se debe a que la línea de costa de Gran Bretaña se comporta como
un fractal estadístico, debido a su autosimilitud estadística, relacionada con el gran número de accidentes geográficos que presenta. Evidentemente, no es un fractal real aunque se comporte como tal.
Imagen 15: Paradoja de la línea de costa. Se observa que cuanto más pequeña
es la vara de medir mayor es la longitud de la costa, tendiendo aparentemente a
infinito.
6.
CONCLUSIONES
Algunos
sistemas caóticos son: el tráfico, un péndulo simple doble, el goteo de un
grifo, la Bolsa, el tiempo atmosférico, el problema de los tres cuerpos, un fluido en régimen turbulento y un
largo etcétera.
La teoría del caos se
puede aplicar a múltiples campos como los de: Criptografía, Robótica, Biología,
Meteorología, Mecánica Celeste, Mecánica de fluidos, Sociología y un largo etcétera.
Como muchos de los
sistemas que nos rodean son caóticos parece que es el caos quien gobierna el
Universo y nuestra vida. Esta concepción da pie a muchas preguntas de índole
científica y filosófica:
1) ¿Existe el libre
albedrío?
2) ¿Podremos predecir
algún día el comportamiento de un sistema caótico a muy largo plazo si la
sensibilidad de los instrumentos de medida alcanzan una precisión cuasi
perfecta? Es decir, ¿es el caos inherente a la naturaleza o lo podemos
esquivar?
3) ¿Es la geometría
fractal una realidad de la Naturaleza o una simple apariencia matemática?
4) ¿Qué sentido tiene que
exista una dimensión topológica no entera?
5) ¿La relación existente
entre el caos y los fractales es una mera casualidad o existe una conexión más
íntima que aún no alcanzamos a comprender?
6) Si las condiciones del
Universo primitivo hubieran sido ligeramente distintas, ¿hacia dónde habría
evolucionado el Universo? ¿Estaríamos los seres humanos aquí?
7) ¿Qué relación existe entre
el caos y la evolución humana?
8) ¿Cómo surge el caos a
partir del orden? ¿O el orden a partir del caos?
9) ¿Por qué a partir de
sistemas sencillos surge el caos?
10) ¿Qué relación existe
entre la Teoría del Caos y los sistemas complejos?[5]
Además, cabe destacar la
interrelación entre ciencias, ya que la Teoría del Caos aparece en múltiples
campos científicos. Esta teoría no podría haberse formulado si no llega a ser
por los avances en Informática, Matemáticas o Física, entre otros.
8. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA Y RECOMENDABLE
Bibliografía, webs e
imágenes consultadas:
Apuntes de la asignatura
Ecuaciones Diferenciales, Tema 1, 2º cuatrimestre, 2º de Grado en Física por la
UMU. Profesor Luis Roca.
Mis ejercicios de la carrera, especialmente las imágenes de iteraciones.
Bibliografía recomendable:
“La Geometría fractal de
la Naturaleza” de Benoit Mandelbrot
“Las teorías del caos y la
complejidad” de Régules Ruiz-Funes
“Complejidad: el caos como
generador del orden” de Roger Lewin
[1] Un péndulo doble simple es un péndulo simple del que
cuelga otro péndulo simple. El problema de los tres cuerpos fue un problema que
tardó más de dos siglos en resolverse y era exponencialmente más complicado que
el problema de los dos cuerpos. Aunque de primeras pueda parecer que el péndulo
doble o el problema de los tres cuerpos son sencillos por incluir pocos
elementos, un planteamiento inicial del problema muestra que es muy complicado.
[2] El tiempo
meteorológico y el clima son distintos, sí se puede predecir el clima de dentro
de unas décadas, el tiempo más allá de unos días no.
[3]
La condición de que el parámetro de control pueda adoptar
ese rango de valores es necesaria para que el valor de la población de insectos
xk tenga sentido físico: valga entre 0 y 1.
[4] Un
punto matemático tiene dimensión cero, una recta uno, una superfície dos y un
volumen tres, mientras que un fractal tiene por dimensión un número decimal, lo
cual no tiene sentido intuitivo. Se argumenta que el objeto fractal no llena
todo el espacio topológico y deja huecos y que por ello tiene dimensión
no entera.
[5] Los
sistemas complejos son aquellos en que el todo es más que la suma de las partes
debido a la interacción entre las partes y surgen las llamadas propiedades
emergentes o colectivas.
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