LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

1. INTRODUCCIÓN

La Teoría de la Relatividad Especial es una de las teorías físicas más admiradas y malinterpretadas de cuantas se han formulado, excepto la Mecánica Cuántica y, tal vez, la Teoría del Caos.
Antes de nada, cabe aclarar el porqué de su nombre. Esta teoría debe su nombre al de uno de los dos postulados sobre los que se construye, el llamado Principio de Relatividad, que afirma que las leyes de la Física deben ser las mismas para todos los sistemas de referencia inerciales [1]. Por lo tanto, no se puede distinguir cuál de los dos está en movimiento uniforme y cuál se encuentra en reposo.

Esta teoría, cuyo creador es Albert Einstein, fue formulada en 1905, su annus mirabilis[2],  y nos viene a decir que observadores en movimiento relativo entre sí miden tiempos y distancias diferentes, que el tiempo y el espacio están unidos indisolublemente, que masa y energía son dos caras de la misma moneda  y que sucesos  que son simultáneos para un observador no lo son para otro.

Imagen 1: Einstein (1879-1955) a los 25 años de edad

2. CONTEXTO HISTÓRICO

2.1 La situación de la Física a finales del siglo XIX: algunos nubarrones en el cielo
A finales del siglo XIX, ciertos físicos de prestigio pensaban que la Física estaba prácticamente acabada, ya que:

• El Electromagnetismo de Maxwell explicaba todos los fenómenos electromagnéticos observados y, además, predecía que la luz era una onda de naturaleza electromagnética, relacionándose así con la Óptica, que explicaba satisfactoriamente el comportamiento de la luz visible.

Imagen 2: Todos los fenómenos eléctricos y magnéticos quedan explicados mediante una única teoría

• La Mecánica Newtoniana (o Clásica) y sus reformulaciones explicaban el movimiento de todos los astros y objetos terrestres.

Imagen 3: La Mecánica Clásica está aceptada por, entre otras cosas, describir el movimiento de los astros

• La Termodinámica, síntesis de la Mecánica y la Termología, explicaba los intercambios de energía entre distintos cuerpos y no se había observado ninguna violación de los principios sobre los que se construye.

Imagen 4: La Segunda Ley de la Termodinámica impide que todo el calor se transforme en trabajo mecánico

Sólo quedaban unos pequeños nubarrones en el cielo por dispersar[3]:

1. Una explicación para efecto fotoeléctrico
2. Los espectros atómicos de los gases, que eran discretos en vez de continuos
3. La radiación de cuerpo negro
4. La disminución del calor específico de los sólidos con la temperatura

Sin embargo, cuando la Física parecía estar apunto de quedar finiquitada sufrió un terremoto que hizo que sus cimientos se tambalearan. En este artículo nos centraremos en el cambio de paradigma que supuso la Relatividad Especial de Einstein y dejaremos el de la Relatividad General y la Cuántica para otro momento.
Para poder entender cómo se llego a este punto, cabe realizar un breve análisis de los avances en Física desde la época de Galileo y Newton.

2.2 Sonido, luz, ondas y ¿éter?

Desde el siglo XVII se sabe que el sonido se propaga como una onda y necesita un soporte material para propagarse (sólido, líquido o gaseoso) ya que se había demostrado experimentalmente que en el vacío no se propagaba.

Durante el siglo XVIII, Newton y Huygens teorizaron sobre la naturaleza de la luz visible, postulando el primero que estaba formada por partículas y el segundo que era una onda.
En 1802, Young con su experimento de la doble rendija demostró que la luz era una onda al hacer interferir dos haces de luz provenientes de una misma fuente y observar el fenómeno de interferencia en la pantalla, el cual es característico del movimiento ondulatorio.

Imagen 5: Experimento de Young

Debido al carácter ondulatorio de la luz, y en analogía con el sonido, se especuló con la existencia de un medio material de naturaleza desconocida que llenaba todo el espacio y que sería el responsable de que la luz emitida por las estrellas y el Sol alcanzara la Tierra: el famoso éter.
A mediados del siglo XIX, Maxwell unificó la Electricidad y el Magnetismo en una única teoría (el Electromagnetismo), representada mediante cuatro ecuaciones. Estas ecuaciones relacionan los campos eléctricos y magnéticos con sus fuentes y los campos eléctricos variables con los campos magnéticos variables.

Imagen 6: Ecuaciones de Maxwell

A partir de ellas, se deduce que la luz visible es un tipo de onda electromagnética que siempre se propagaba a la misma velocidad, sin importar el estado de movimiento del observador o de la fuente.
Por lo que se postuló que debería existir un sistema de referencia en reposo absoluto que además sirviera de soporte para las ondas electromagnéticas en el vacío: el éter.

Imagen 7: La velocidad de la luz c sólo depende de las propiedades electromagnéticas del medio por el que se propaga

Por otro lado, era bien conocida en la época la Ley propagación de la luz, que afirma que la luz en el vacío se propaga en línea recta y a una velocidad de 300.000 km/s.

2.3 La Mecánica Newtoniana: 200 años de buenos resultados
Para poder continuar con nuestra historia, cabe destacar algunos de los principios sobre los que estaba construida la Mecánica Clásica, iniciada por Galileo y Newton:

• El espacio y el tiempo son absolutos, es decir, cualquier observador sin importar su estado de movimiento medirá la misma longitud y el mismo tiempo para un determinado suceso que otro observador en movimiento relativo respecto al primero.
• El Principio de Relatividad de Galileo, que establecía que "las leyes de la Mecánica son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales". Por lo tanto, no existe ningún sistema de referencia privilegiado que se encuentre en reposo absoluto, ya que no se puede diseñar ningún experimento mecánico que permita distinguir cuál de los dos observadores esta en reposo absoluto y cuál se mueve en línea recta a velocidad constante. La relación entre las coordenadas de ambos sistemas de referencia vienen dadas por las denominadas Transformaciones de Galileo:

Imagen 8: Las Transformaciones de Galileo relacionan lo que miden dos sistemas de referencia inerciales S y S'

• Consecuencia de lo anterior, si un observador situado en un sistema de referencia S', que se desplaza a una cierta velocidad v' respecto a otro observador situado en un sistema de referencia S en reposo respecto S', lanza un cuerpo a una cierta velocidad u respecto de sí mismo, el observador situado en S medirá una velocidad v=v'+u.

Imagen 9: Estudio del movimiento relativo entre dos sistemas de referencia inerciales

Esto como se verá más adelante es inconsistente con las leyes de Maxwell.

2.4 El experimento de Michelson-Morley: el "no resultado" más importante de la Física
En 1887 Michelson y Morley se propusieron determinar la velocidad relativa de la luz respecto del éter utilizando un interferómetro. Según ellos, el patrón de interferencias producido debería cambiar si se hacía girar el aparato de orientación debido a que uno de los haces de luz debería llegar al detector antes que el otro a una velocidad c+v, siendo v la velocidad de la Tierra respecto del éter.

Imagen 10: Experimento de Michelson-Morley

La sorpresa fue que tras múltiples intentos comprobaron que no se producía ningún cambio en el patrón de interferencia.
Por lo tanto, solo cabían dos opciones:
1) La velocidad de la Tierra respecto al éter es cero (Hipótesis incorrecta y rechazada)
2) No existe ningún sistema de referencia privilegiado ni el éter (Hipótesis correcta propuesta por Einstein en 1905)
En consecuencia, solo quedaban dos posibilidades:
1) Modificar el Electromagnetismo, de tan solo 30 años de existencia (Opción incorrecta)
2) Buscar un nuevo Principio de Relatividad y modificar la Mecánica, de más de 200 años de buenos resultados (Opción correcta).

3. ALGUNOS APUNTES SOBRE MECÁNICA CLÁSICA

3.1 Espacio y tiempo en Mecánica Clásica
La Mecánica Clásica es la rama de la Física que estudia los cambios en el estado del movimiento de un cuerpo y sus causas, las fuerzas.
Es válida en su marco teórico, cuando:

1. La velocidad relativa entre los observadores es muy inferior a la de la luz
2. Los cuerpos son de tamaño macroscópico
3. Los campos gravitatorios son débiles [4]

Considera que el espacio y el tiempo son entidades independientes y absolutas, es decir, que dos sistemas de referencia medirán siempre las mismas distancias e intervalos temporales sin importar su estado de movimiento. Por lo tanto, existe una regla de medir y un reloj universal.
Esto viene descrito matemáticamente por las Transformaciones de Galileo (ver imagen 7).

3.2 Las Leyes de Newton
Las Leyes de Newton son las leyes del movimiento sobre las que se construye la Mecánica Clásica:

1. Ley de Inercia: cuando sobre un cuerpo no actúan fuerzas o las que actúan se cancelan entre sí, el cuerpo permanece en reposo o velocidad constante. Por lo tanto, tanto el reposo como el movimiento uniforme son indistinguibles entre sí. Esta ley sirve como base para definir un sistema de referencia inercial: aquél que se encuentra en reposo o movimiento uniforme respecto de otro.
2. Ley de la Dinámica: Cuando sobre un cuerpo actúa una o más fuerzas, éste adquiere una aceleración inversamente proporcional a su masa y en la misma dirección que la fuerza resultante. La famosa
3. Ley de acción-reacción: cuando dos cuerpos interaccionan, se ejercen mutuamente fuerzas de igual intensidad pero sentidos opuestos. 

3.3 El Principio de Relatividad de Galileo
El Principio de Relatividad de Galileo es un axioma que destaca por su sencillez y simplicidad y afirma que "Las leyes de la Mecánica son las mismas para todos los sistemas de referencia inerciales". Por lo tanto, es imposible realizar ningún experimento de naturaleza mecánica que permita distinguir qué observador es el que está en reposo y qué observador se encuentra describiendo un movimiento rectilíneo uniforme. En consecuencia, no existe ningún sistema de referencia privilegiado que se encuentre en absoluto reposo.

4. CUESTIONANDO LA MECÁNICA CLÁSICA

3.1 Aparente incompatibilidad entre el Principio de Relatividad de Galileo y la Ley de propagación de la luz
La incompatibilidad entre el Principio de Relatividad de Galileo y el Electromagnetismo es fácil de entender si se considera la siguiente situación.
Un observador situado en un sistema de referencia S', que se desplaza a una cierta velocidad v' respecto a otro observador situado en un sistema de referencia S en reposo respecto S', lanza un rayo de luz (a velocidad c), el observador situado en S mediría una velocidad v=v'+c.
Dicho resultado contradice la ley de propagación de la luz, que afirma que la velocidad de la luz es siempre c sin importar el estado de movimiento de la fuente o del observador.

Imagen 11: Según Galileo, la velocidad de la luz medida por S sería c+v pero las ecuaciones de Maxwell afirman que todos los observadores deben medir la misma velocidad c

La solución será buscar unas nuevas Transformaciones (las de Lorentz) y generalizar el Principio de Relatividad de Galileo a uno más general (válido para toda la Física y no solo para la Mecánica), con la consecuencia de tener que reformular toda la Mecánica.

Pero antes cabe preguntarse sobre el significado del tiempo y la simultaneidad.

3.2 Sobre el concepto de tiempo en la Física

Supongamos que un rayo cae en los dos extremos de un vagón que se desplaza respecto al andén, ¿tiene sentido afirmar que han caído simultáneamente? A primera vista puede parecer que sí, pero... cabe comprobarlo mediante un experimento: se debe colocar a un observador provisto de un detector en medio del vagón.
Se puede llegar a una definición de tiempo físico, colocando unos relojes idénticos en los tres puntos (extremos del vagón y su punto medio) entendiendo por tiempo la posición espacial de las manillas del reloj, estando los tres con las manillas en la misma posición.
Se puede afirmar que "dos relojes colocados en reposo en dos lugares distintos del cuerpo de  referencia se disponen de tal modo que una posición de las manecillas de uno de ellos sea simultánea con la misma posición de las manecillas del otro reloj, entonces las posiciones iguales de las manecillas son simultáneas".

3.3 La relatividad de la simultaneidad
Einstein se preguntó si hablar de simultaneidad tenía sentido o no. Para ello diseñó un experimento mental en el que un viajero se encontraba en el punto medio de un vagón y éste se desplazaba a una cierta velocidad constante respecto otro viajero que estaba en un andén.
Entonces si un rayo cae en ambos extremos del tren justo cuando ambos viajeros se encuentran uno enfrente del otro para el observador del andén ambos rayos han caído simultáneamente, pues la luz de ambos rayos tiene que recorrer la misma distancia. Sin embargo, para el observador situado en medio del vagón el rayo de la derecha cae antes que el de la izquierda porque se desplaza hacia la derecha alejándose del rayo que ha caído en el extremo izquierdo del vagón y se acerca al rayo que ha caído en el extremo derecho.

Imagen 12: Experimento mental del tren

En consecuencia, lo que es simultáneo para un observador no lo es para otro y el tiempo carece de sentido si no se le relaciona con un sistema de referencia. Así que, el tiempo es un concepto local, relativo al sistema de referencia, y no existe un tiempo absoluto o universal.

5. CONSTRUYENDO LA RELATIVIDAD ESPECIAL

4.1 Los postulados de la Relatividad Especial

Los dos postulados con los que se construye la Relatividad Especial son sencillos pero de consecuencias inesperadas, pues cambiaron la concepción que teníamos sobre lo que es el espacio, el tiempo, la masa y la energía.

• Primer postulado: Las leyes de la Física son las mismas en todos los SRI.
• Segundo postulado: La rapidez de la luz en el vacío es la misma para todos los SRI y es independiente del movimiento de la fuente.

Como se puede observar, el primer postulado amplia el Principio de Relatividad de Galileo a todos los campos de la Física, como la Óptica y el Electromagnetismo, y no solo para la Mecánica. Por lo que es imposible distinguir entre un cuerpo en reposo y otro en movimiento rectilíneo uniforme mediante ningún experimento de naturaleza mecánica o electromagnética.

El segundo postulado implica la imposibilidad de que un observador situado en un SRI viaje a la velocidad de la luz en el vacío.

Por lo tanto, las Transformaciones de Galileo no son coherentes con estos postulados y deben buscarse unas transformaciones que sí cumplan con ambos.

4.2 Las transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz son una serie de ecuaciones que relacionan lo que dos sistemas de referencia inerciales en movimiento relativo entre sí miden, tienen en cuenta que la luz se propaga a una velocidad finita y además cumplen con los dos principios de la Relatividad. La clave reside en que dejan invariantes las ecuaciones de Maxwell, pues las leyes de la Física deben ser las mismas para todos los sistemas de referencia inerciales.

Imagen 13: Transformaciones de Lorentz. Se reducen a las de Galileo cuando la velocidad relativa entre los dos SRI es mucho más pequeña que la de la luz u<<c

El factor gamma , también conocido como factor relativista tiende a 1 en el caso que u<<c y a infinito cuando u se aproxima a c. Representa una medida de la intensidad de los efectos relativistas.

Imagen 14: Factor relativista. Se observa cómo a partir de velocidades del 30% de la luz se deben considerar los efectos relativistas.

4.3 Contracción de la longitud
Se consideran dos sistemas de referencia inerciales S y S', en el que S' se mueve a una velocidad u con respecto a S en el eje +OX. Además, hay una varilla que se encuentra acostada sobre el eje X y en reposo con respecto a S. Si el sistema de referencia S mide una longitud de la varilla, que resulta ser L, cabe preguntarse qué longitud para la varilla medirá S'.

Imagen 15: Esquema de la situación

Antes, es necesario preguntarse cómo un observador situado en un sistema de referencia mide una longitud. 

En primer lugar, el observador situado en el sistema de referencia S determina la longitud de la varilla midiendo las posiciones x1 y x2 en un mismo instante de tiempo t1=t2, y tras ello realiza la resta obteniendo L=x2-x1.

En segundo lugar, el observador situado en el sistema de referencia S' determina la longitud de la varilla midiendo las posiciones x1' y x2' en un mismo instante de tiempo t1'=t2', y tras ello realiza la resta obteniendo L'=x2'-x1'.

Si se utilizan las transformaciones de Lorentz, se obtiene que:

Imagen 16: Contracción de longitud

Como se puede observar, el observador S', que se encuentra en movimiento relativo respecto a S, medirá una longitud de la varilla más pequeña que la que mide S, que se encuentra en reposo respecto de la varilla.

Esto no se trata de un efecto óptico sino de una contracción de la varilla real debida a efectos relativistas y no de índole termodinámica u óptica. Además, es un resultado tan válido como el que obtiene el observador S.

4.4 Dilatación temporal
Para poder entender el efecto relativista de la dilatación temporal se deben considerar dos sistemas de referencia S y S', de los cuales S' se desplaza a velocidad u respecto a S. Si se sitúa un reloj puntual que emite una señal a intervalos regulares de tiempo ∆t medidos por S, el cual se encuentra en reposo respecto al reloj, el intervalo temporal que medirá S' será ∆t', que utilizando las Transformaciones de Lorentz vendrá dado por:

Imagen 17: Dilatación temporal

Como se puede observar, el tiempo que mide S' para un suceso es mayor que el que mide S, estando S' en movimiento relativo respecto a S, que se encuentra en reposo respecto al suceso.

4.5 Adición de velocidades
Se consideran dos sistemas de referencia inerciales S y S', en el que S' se mueve a una velocidad u con respecto a S en el eje +OX. En ese mismo eje se encuentra una partícula que se desplaza a velocidad v respecto a S y v' respecto a S'.
Utilizando las Transformaciones de Lorentz, se obtienen la relación entre las velocidades que medirían S' y S.

Imagen 18: Adición de velocidades en el caso relativista

Como se puede observar, la relación entre las velocidades que miden S' y S no es una simple suma o resta, sino que está condicionada por los factores que aparecen en el denominador, entre ellos el de la velocidad de la luz c.
Se puede comprobar que la adición de velocidades se reduce al caso de Galileo cuando la velocidad a la que se desplaza S' con respecto a S es mucho menor que la de la luz:

Imagen 19: Adición de velocidades en el caso clásico

Por otro lado, como la velocidad  a la que se desplaza S' respecto S es menor que c, las Transformaciones de Lorentz muestran que cualquier cuerpo que se desplace a una velocidad menor que la de la luz respecto a un sistema de referencia inercial, también lo hará a una velocidad menor que la de la luz para cualquier otro sistema de referencia inercial en movimiento relativo con el anterior.
Además, cualquier cosa que se desplace a una velocidad c respecto del sistema de referencia S, también se desplazará a una velocidad c respecto de otro sistema de referencia S' en movimiento relativo con el anterior. Por lo tanto, este resultado está en coherencia con el Segundo Postulado de la Relatividad Especial.

4.6 Reformulación Segunda Ley de Newton
Al igual que se han modificado las relaciones de espacio, tiempo y velocidad relativa que miden dos observadores en sendos sistemas de referencia inerciales, también deben modificarse las expresiones del momento lineal (o cantidad de movimiento) y la Segunda Ley de Newton.
El Principio de Conservación del momento lineal afirma que cuando dos cuerpos interactúan la cantidad de movimiento del sistema permanece constante en ausencia de fuerzas externas.
Si este principio de conservación es válido (y no existen argumentos para suponer lo contrario), debe serlo para todos los sistemas de referencia inerciales, ocurriendo que al aplicar las Transformaciones de Lorentz a la expresión newtoniana del momento linealésta no permanece inalterable, por lo que debe buscarse una nueva expresión para que sí lo sea.
Esta nueva expresión es, donde m se identifica con la masa en reposo del cuerpo y a menudo el términose identifica con la masa relativista del cuerpo, como si su masa aumentara con la velocidad, cabe señalar que esta interpretación ya se encuentra obsoleta.[6]
De esta nueva fórmula se deduce que la expresión de la fuerza (para el caso en el que F y v actúan en el mismo eje) es:

Imagen 20: Versión relativista de la Segunda Ley de Newton

A continuación, se representa esta ecuación en forma gráfica.

Imagen 21: Se observa como a grandes velocidades deja de ser la relación lineal que afirma la Mecánica Clásica

Es decir, la aceleración que adquiere un cuerpo ya no es directamente proporcional a la fuerza aplicada.

Imagen 22: Versión relativista de la aceleración que adquiere un cuerpo

A continuación, se representa esta ecuación en forma gráfica.

Imagen 23: Relación relativista entre la aceleración y la velocidad

Se deduce que conforme aumenta la rapidez de la partícula, la aceleración provocada por la fuerza disminuye constantemente. Así que, conforme la rapidez de la partícula tiende a c, su aceleración tiende a ser nula.
Por lo tanto, es imposible acelerar una partícula cuya masa en reposo sea no nula a una rapidez mayor o igual a la de la luz, constituyendo la velocidad de la luz un límite superior de velocidades.

4.7 Equivalencia masa-energía
Continuando con la reformulación de la Mecánica, se debe buscar la expresión relativista de la energía cinética.
Esta expresión es la siguiente:
Como se observa, conforme la velocidad del cuerpo tiende a c, la energía cinética tiende a infinito.
Esta expresión se reduce al caso clásico cuando el factor v/c es muy pequeño:
Por otro lado, la ecuaciónincluye dos términos que deben ser analizados.
1) El término independiente del movimientose define como la energía en reposo, es decir, la energía que tiene un cuerpo por el hecho de existir.
2) El término dependiente del movimientoes la energía total del cuerpo, siendo igual a su energía cinética más la energía en reposo.
En consecuencia, el Principio de Conservación de la energía y el Principio de Conservación de la masa son dos casos especiales de un Principio de Conservación más general: el Principio de Conservación de la masa-energía, siendo la masa y la energía dos caras de una misma moneda.
Por lo tanto, la masa se puede transformar en energía y la energía en masa. Ésta es la base para la generación de energía mediante reacciones nucleares, ya que en una reacción nuclear, la suma de las masas de los fragmentos del núcleo de Uranio es menor que la masa del núcleo en sí.

6. CONCLUSIONES, CONSIDERACIONES Y ERRORES DE INTERPRETACIÓN

6.1 Conclusiones
La Relatividad Especial supone la unión dialéctica entre:

1. Mecánica y EM: ahora el EM y la Mecánica (Relativista) ya son consistentes entre sí, esto supone una nueva unificación, al igual que lo fue la Mecánica Clásica (que explicaba el movimiento de los astros y de los cuerpos en la Tierra mediante una misma teoría) o el propio Electromagnetismo (que unificó los fenómenos eléctricos con los magnéticos) además del Electromagnetismo con la Óptica.
2. Espacio y tiempo: La idea de un espacio y tiempo como entes independientes y absolutos, axiomas de la Mecánica Clásica, carecen de sentido y solo existe el espacio-tiempo en el que cada observador tiene asociado un tiempo local propio. Debido a esto la idea de simultaneidad pierde sentido, porque lo que para un observador es simultáneo para otro en movimiento relativo con el primero no lo es. Por lo tanto, no existe ningún observador privilegiado y las dimensiones de los cuerpos y la duración de los sucesos varían en función del estado de movimiento del observador.
3. Masa y energía: la masa y la energía son las dos caras de una misma moneda y ambas se pueden transformar la una en la otra, dando lugar a un nuevo principio de conservación más general: el Principio de Conservación de la masa-energía.

6.2 Errores de interpretación
No es una teoría idealista, es materialista.
La teoría de la Relatividad no dice que TODO sea relativo, de hecho algunas magnitudes físicas son relativas debido a que otras no lo son, como la velocidad de la luz.
No afirma que existan múltiples realidades, ni que el espacio o el tiempo sean subjetivos, ni que no existan y sean solo un producto de la mente humana. De hecho son muy reales y se pueden medir.
No da pie al relativismo cultural, ni a que todas las opiniones sean igual de correctas desde el punto de vista propio de cada uno.
No deja en desuso las Mecánica Clásica, pues está sigue siendo correcta en su marco teórico y se continua enseñando en los institutos y en las facultades de ciencias.

Consideraciones
Einstein la construyo a base de realizarse una pregunta sencilla: ¿qué vería si me muevo a la velocidad de la luz?
Está construida a partir de principios simples pero de grandes consecuencias, ya que los dos principios sobre los que se construye son muy elementales: las leyes de la Física son las mismas para todos los sistemas de referencia inerciales y la velocidad de la luz es la misma sin importar el movimiento de la fuente o de los observadores.
Además, contaba con la base experimental del "no resultado" de Michelson-Morley, aunque él siempre afirmó no haberse enterado de ese experimento. Simplemente, negó la existencia del éter porque no lo necesitaba para su teoría.
La Relatividad Especial la formuló Einstein pero podría haber sido otro cualquiera: para ello no hay más que fijarse en el la situación de la Física a finales del siglo XIX, había un problema y era necesario resolverlo.
Es bien sabido que Albert Einstein no construyó su Relatividad Especial de cero, sino que utilizó algunos aportes de otros científicos, algo que por supuesto es totalmente legítimo aunque él no citó fuentes en su artículo original de 1905.
Cabe entender que otros científicos fueron creando piezas de un puzzle y fue Einstein quien las unió.
Se enumeran algunos de los aportes de otros científicos y matemáticos:

1. Mach especuló que el tiempo era un producto de la mente humana. Como Einstein leyó a Mach en su juventud, tal vez le inspirase a deshacerse de la idea clásica de un tiempo absoluto universal.
2. Fitzgerald postuló que el experimento de Michelson-Morley podía explicarse si se tenía en cuenta la posibilidad de que la longitud se contrayera en la dirección del movimiento.
3. Lorentz publicó sus transformaciones, que sustituían a las de Galileo, y fueron utilizadas por Einstein para relacionar las mediciones de espacio y tiempo que medirían dos observadores en movimiento relativo entre sí.
4. Larmor de forma independiente a Lorentz dedujo las mismas transformaciones y habló de dilatación temporal.
5. Poincaré en los años previos a 1905 rechazó las nociones de espacio y tiempo absolutos, habló de la relatividad de la simultaneidad, dedujo la famosa ecuación pero la malinterpretó.
6. Mileva Maric, matemática y primera esposa de Einstein. (Sin determinar su grado de aportación)
7. Minkowski, descripción matemática de un espacio-tiempo plano.

De todos estos descubrimientos, está claro que el que más contribuyó fue Lorentz con sus transformaciones y el que más cerca estuvo de descubrir la Relatividad Especial fue el matemático Poincaré.
Que Einstein descubriera la Relatividad no fue obra solo de su genio, sino que también se encontraba en el contexto adecuado, ya que había una serie de incompatibilidades que resolver entre la Mecánica y el Electromagnetismo.

Llamadas a pie de página
[1]: Un sistema de referencia es un punto que se considera fijo y desde el que se estudia el movimiento de un cuerpo. Dos sistemas de referencia son inerciales si uno está en reposo respecto al otro y este segundo se mueve en movimiento rectilíneo uniforme respecto al primero.
[2]: En 1905 Einstein sorprendió al mundo de la Física al publicar cuatro artículos.

1. Explicación del efecto fotoeléctrico al postular que la luz se comporta como partículas llamadas fotones cuando interactúa con la materia. Nobel en 1921 por ello.
2. Explicación del movimiento browniano, que era el movimiento aleatorio de las partículas de polen en un vaso de agua, supuso una prueba indirecta de la existencia de los átomos.
3. Primer artículo de la Relatividad Especial: "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento.
4. Segundo artículo de la Relatividad Especial: "¿Depende la inercia de un cuerpo de su estado de movimiento".

[3]: La respuesta a éstos interrogantes supuso la creación de una nueva teoría: la Mecánica Cuántica.

1. El efecto fotoeléctrico se explicó con la hipótesis de Einstein de corpúsculos de luz
2. Los espectros atómicos de los gases fueron explicados con el modelo atómico de Bohr, que fue el primer modelo atómico cuántico.
3. La radiación de cuerpo negro fue explicada por Planck, que consideró que la energía no se intercambia de forma continua sino discreta, en pequeños paquetes llamados cuantos. Esta fue la primera piedra para construir la Mecánica Cuántica.

[4]: Un campo gravitatorio débil es aquél que no curva lo suficiente el tejido del espacio-tiempo y, por lo tanto, no es necesario estudiarlo desde el punto de vista de la Relatividad General.
[5]: La idea de que la masa de una partícula aumenta con la velocidad fue abandonada hace tiempo porque conlleva a confusiones conceptuales.

7. BIBLIOGRAFÍA

"El significado de la Relatividad" de Albert Einsten
"¿Qué es la teoría de la relatividad" de Lev Landau y otros
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La Teoría del Caos y los Fractales

1. INTRODUCCIÓN

En el lenguaje cotidiano la palabra caos, del griego khaos, significa desorden mientras que su antónimo cosmos, del griego kósmos, significa orden.
Los griegos afirmaron erróneamente en base a sus observaciones que los movimientos de los astros eran perfectos y ordenados, mientras que los movimientos de los cuerpos terrestres eran violentos y caóticos.

El caos en Física no tiene el mismo significado que en el lenguaje cotidiano. Por lo tanto, un sistema caótico no es un sistema desordenado o que se va desordenando, sino determinista, impredecible, no azaroso, no lineal y que presenta sensibilidad a las condiciones iniciales.

Un sistema caótico no necesariamente tiene que ser un sistema complicado, como se verá más adelante, pues los fenómenos caóticos pueden surgir de sistemas aparentemente sencillos como un péndulo doble simple, el goteo de un grifo o tres cuerpos que interaccionan gravitacionalmente entre sí.[1] Aunque por supuesto también complicados como la atmósfera, la economía, la dinámica de poblaciones, etc.

En realidad, el Cosmos no es ordenado y muchos sistemas gravitacionales muestran comportamientos caóticos.

El caos físico nos rodea por todas partes, haciendo imposible realizar predicciones del estado de un sistema caótico a largo plazo: cómo estará la Bolsa en un futuro, la estabilidad del sistema solar a muy largo plazo, el estado del tiempo en las próximas semanas[2], etc.

Por sus fuertes implicaciones a la hora de comprender el mundo, la Teoría del Caos es considerada la tercera revolución de la Física en el siglo XX tras la Relatividad y la Mecánica Cuántica.

2. ANTECEDENTES HISTÓRICOS

La concepción mecanicista del Universo que surgió de los trabajos de Newton, como la Mecánica Clásica y Ley de la Gravitación Universal; y Descartes, quien afirmó que el Universo era una máquina de relojería perfectamente predecible y Dios un relojero, llevó al matemático y físico francés Laplace (1749-1827), considerado el padre del determinismo, a enunciar que “Una inteligencia que en un instante dado supiera todas las fuerzas que actúan en la Naturaleza y su posición y velocidad de cada objeto en el Universo – si estuviese dotada de un cerebro suficientemente vasto para hacer todos los cálculos necesarios – podría describir con una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos astronómicos y de los átomos más pequeños. Para tal inteligencia, nada sería cierto, el futuro, como el pasado, serían un libro abierto”. El determinismo fue hegemónico durante los siguientes siglos, dominando la Filosofía de la Ciencia y la Física.

El caos físico fue descubierto por el científico Edward Lorenz en 1963 cuando resolviendo las llamadas ecuaciones de Lorenz, que describen el comportamiento de las corrientes de convección atmosféricas, observó que si redondeaba las condiciones iniciales con las que partía el sistema de las millonésimas a las milésimas, un cambio apenas perceptible, los resultados diferían muchísimo entre sí cuando pasaba un tiempo lo suficientemente largo.

Imagen 1: Ecuaciones de Lorenz, son un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales acopladas de primer orden, no entraremos en su significado físico.

Como buen científico, Lorenz repitió sus simulaciones más veces obteniendo siempre resultados muy distintos cuando variaba ligeramente las condiciones iniciales con las que comenzaba su sistema. Esto le llevó a enunciar el famoso efecto mariposa, tan mal malinterpretado, que afirma que “el aleteo de una mariposa en Tokyo puede provocar un huracán en Nueva York”. Evidentemente, esta afirmación no es correcta y Lorenz simplemente buscaba resaltar una de las características más importantes de los sistemas caóticos: su sensibilidad a las condiciones iniciales.

Imagen 2: Atractor de Lorenz, que por su forma da nombre al efecto mariposa. Se observa cómo a pesar de ser un sistema caótico el resultado tiende a un conjunto de valores numéricos para un importante rango de condiciones iniciales, de ahí el nombre de atractor.

En realidad, el caos ya había sido intuido por otros científicos como el matemático Henri Poincaré (1854-1912), el cual se preguntó por la estabilidad del Sistema Solar a largo plazo y se propuso resolver el problema de los tres cuerpos, para darse cuenta de que su evolución era impredecible debido a la sensibilidad de este sistema a las condiciones iniciales.

Imagen 3: Posibles trayectorias en el estudio del problema de los tres cuerpos. Las diferencias se deben a variaciones mínimas en las condiciones iniciales. Solo se muestran soluciones cerradas, para las que el sistema es estable.

Por otro lado, cabe destacar al matemático polaco Mandelbrot, que descubrió los fractales en 1975, objetos de dimensión no entera que suelen presentar la propiedad de autosemejanza, teniendo la misma forma a diferentes escalas. Aunque éstos ya habían sido intuidos en los siglos anteriores. Los fractales, del latín fractus que significa fracturado o quebrado, son unos objetos matemáticos muy interesantes, relacionados con el caos y tienen múltiples aplicaciones en Informática, Arte, …, además de aparecer en la naturaleza: hojas, copos de nieve, etc.

Imagen 4: Conjunto de Mandelbrot. Si se hace zoom a alguna de sus partes la figura se repite a diferentes escalas.

3. LA TEORÍA DEL CAOS

Como se ha visto anteriormente, un sistema caótico es aquel que cumple las siguientes condiciones:

a) Determinista: su estado final está determinado por su el inicial y su evolución está dada por una o varias ecuaciones matemáticas.

b) No azaroso: no depende del azar ni está relacionado con probabilidades.

c) No lineal: las ecuaciones que describen la evolución del sistema son no lineales, es decir, un cambio en una de sus variables produce un cambio no proporcional en el valor de la función que describe el sistema.

d) Impredecible: es imposible determinar su estado final, a pesar de ser determinista, debido a la sensibilidad a las condiciones iniciales que presenta el sistema.

Imagen 5: Evolución temporal de un sistema caótico, se puede observar como un ligero cambio

   en las condiciones iniciales produce una evolución muy distinta cuando pasa un tiempo suficiente.

La contradicción entre que el sistema sea determinista pero impredecible se resuelve con la condición de que presente sensibilidad a las condiciones iniciales.

4. ESTUDIO DE UN SISTEMA CAÓTICO SENCILLO

Como se ha afirmado anteriormente, un sistema puede presentar un comportamiento caótico sin que por ello sea especialmente complicado.

Un ejemplo de esto es la llamada Ecuación logística, propuesta por el biólogo Robert May en 1976 para modelizar la dinámica de una población en ecosistemas cerrados.

La Ecuación logística es una ecuación discreta, por lo que avanza por pasos o etapas y no es continua. Adopta la siguiente forma:

x_k+1=u*x_k*(1-x_k)

Donde x_k es el número de insectos en una generación, x_k+1 el de la siguiente generación y u es un parámetro de control que puede valer entre 0 y 4.[3] Como se puede observar esta ecuación presenta una forma sencilla y es no lineal.

Si se calcula el valor de x_k+1 dado un valor inicial x₀ entre 0 y 1 para un conjunto de valores de u tras un número suficientemente grande de iteraciones, se puede observar que:

1) Para valores de u entre 0 inclusive y 1 sin incluir y dado un x₀ cualquiera, el valor de x_k+1 tiende a cero, es decir, la población se extingue irremediablemente, tiene por lo tanto un comportamiento predecible y no caótico.

Imagen 5. Se observa cómo la población termina desapareciendo. En este caso se ha iniciado con un valor de x0 de 0.7, pero el resultado es independiente de este valor.

2) Para valores de u entre 1 sin incluir y 3 inclusive y dado un x₀ cualquiera, el valor de x_k+1 tiende a un valor fijo dado por (u-1)/u, tiene por lo tanto un comportamiento predecible y no caótico.

Imagen 6: Se observa cómo la población tiene a un valor estable tras cierto tiempo, independientemente del x0 inicial

3) Para un valor de u entre 3 y 3.56994546 y dado un x₀ cualquiera, el valor de x_k+1 oscila entre varios valores, llamados ciclos, que pueden ser de orden dos, cuatro, ocho, … en definitiva 2^k, tiene por lo tanto un comportamiento predecible y no caótico.

Imagen 7: Se observa cómo la población oscila entre dos valores (ciclo de orden 2) tras cierto tiempo, independientemente del x0 inicial

4) Finalmente, para ciertos valores de u entre 3.56994546 y 4, el valor de convergencia de x_k+1 es muy distinto en función del valor inicial x₀ dado, y para dos valores iniciales muy parecidos el sistema termina evolucionando de manera muy distinta, presentando ahora sí un comportamiento caótico.

Imagen 8: Se observa cómo para dos valores iniciales muy parecidos la evolución del sistema es muy distinta pasado un tiempo

Para poder seguir con el estudio del caos se puede recurrir a los llamados Diagramas de Feigenbaum, también conocido como Diagrama de Bifurcaciones, que sirven para visualizar el caos. Para ello se deben representar los valores del parámetro de control u frente a los puntos atractores x_k+1, que no son más que los valores convergentes o cíclicos a los que tiende la población.

Imagen 9: Diagrama de Feigenbaum de la ecuación logística, se observa como a partir de 3.56994546 comienzan zonas de caos. Cabe aclarar que para cada valor de u están contenidos todos los posibles valores de x₀

Hay zonas que son caóticas porque se observan infinitos puntos para un mismo valor de u y otras donde no existe caos, ya que se tiende a un único punto o se oscila entre varios de ellos.

Esta gráfica es mucho más rica de lo que parece, pues presenta la propiedad de autosemejanza a distintas escalas cuando se hace zoom en las bifurcaciones.

Además, este diagrama esconde otro secreto. Si se calcula el coeficiente de separación entre las sucesivas bifurcaciones se obtiene la llamada constante del caos o número de Feigenbaum, el cual es independiente del sistema caótico que se esté estudiando y cuyo valor es 4.6692…

No tiene relación con otras constantes fundamentales físicas y parece que es una constante fundamental del Caos y de la Naturaleza.

5. FRACTALES

Curiosamente, existen unos objetos geométricos que suelen presentar la propiedad de autosemejanza y tienen la peculiaridad de que su dimensión geométrica es no entera, a estos objetos se les denomina fractales.[4]

Queda patente que debe existir una relación estrecha entre el caos y los fractales, los cuales están presentes en la Naturaleza.

Algunos de los fractales inventados, construidos mediante infinitas iteraciones, más importantes son:

Imagen 10: Copo de nieve de Koch. Su dimensión es 1,26186…

  

Imagen 11: Triángulo de Sierpinski de dimensión 1.5849…

En la Naturaleza también podemos encontrar objetos de geometría fractal como:

Imagen 12: Hojas

Imagen 13: Brécol

Imagen 14: Rayos

Además de las grietas en una sequía, las nubes, los copos de nieve, … estos objetos presentan la propiedad de autosemejanza dentro del rango macroscópico, pues si fuéramos haciendo zoom lo dejarían de ser al llegar a nivel atómico.

Por otro lado, el problema de la medida de la línea de costa de Gran Bretaña también está relacionado con los fractales. Resulta que cuanto más pequeña es la vara de medir que se utiliza para determinar la longitud de la línea de costa de Gran Bretaña, o de cualquier otro país, mayor es el resultado obtenido, pareciendo que tienda a infinito. Esto se debe a que la línea de costa de Gran Bretaña se comporta como un fractal estadístico, debido a su autosimilitud estadística, relacionada con el gran número de accidentes geográficos que presenta. Evidentemente, no es un fractal real aunque se comporte como tal.

Imagen 15: Paradoja de la línea de costa. Se observa que cuanto más pequeña es la vara de medir mayor es la longitud de la costa, tendiendo aparentemente a infinito.

6. CONCLUSIONES

Algunos sistemas caóticos son: el tráfico, un péndulo simple doble, el goteo de un grifo, la Bolsa, el tiempo atmosférico, el problema de los tres cuerpos, un fluido en régimen turbulento y un largo etcétera.

La teoría del caos se puede aplicar a múltiples campos como los de: Criptografía, Robótica, Biología, Meteorología, Mecánica Celeste, Mecánica de fluidos, Sociología y un largo etcétera.

Como muchos de los sistemas que nos rodean son caóticos parece que es el caos quien gobierna el Universo y nuestra vida. Esta concepción da pie a muchas preguntas de índole científica y filosófica:

1) ¿Existe el libre albedrío?

2) ¿Podremos predecir algún día el comportamiento de un sistema caótico a muy largo plazo si la sensibilidad de los instrumentos de medida alcanzan una precisión cuasi perfecta? Es decir, ¿es el caos inherente a la naturaleza o lo podemos esquivar?

3) ¿Es la geometría fractal una realidad de la Naturaleza o una simple apariencia matemática?

4) ¿Qué sentido tiene que exista una dimensión topológica no entera?

5) ¿La relación existente entre el caos y los fractales es una mera casualidad o existe una conexión más íntima que aún no alcanzamos a comprender?

6) Si las condiciones del Universo primitivo hubieran sido ligeramente distintas, ¿hacia dónde habría evolucionado el Universo? ¿Estaríamos los seres humanos aquí?

7) ¿Qué relación existe entre el caos y la evolución humana?

8) ¿Cómo surge el caos a partir del orden? ¿O el orden a partir del caos?

9) ¿Por qué a partir de sistemas sencillos surge el caos?

10) ¿Qué relación existe entre la Teoría del Caos y los sistemas complejos?[5]

Además, cabe destacar la interrelación entre ciencias, ya que la Teoría del Caos aparece en múltiples campos científicos. Esta teoría no podría haberse formulado si no llega a ser por los avances en Informática, Matemáticas o Física, entre otros.

8. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA Y RECOMENDABLE

Bibliografía, webs e imágenes consultadas:

Apuntes de la asignatura Ecuaciones Diferenciales, Tema 1, 2º cuatrimestre, 2º de Grado en Física por la UMU. Profesor Luis Roca.

Mis ejercicios de la carrera, especialmente las imágenes de iteraciones.

https://www.google.es/search?q=fractales+naturaleza&sxsrf=ALeKk015IVKyLnTF9b2_Otb5RoB5D3G9NA:1594204534134&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwjI-9LXur3qAhWJxIUKHX_rBFgQ_AUoAXoECA4QAw&biw=1366&bih=625#imgrc=KNuXRCyTcPfi-M

https://www.google.es/search?q=fractales+naturaleza+rayos&tbm=isch&ved=2ahUKEwjcj73Yur3qAhUi-YUKHQ8tBv4Q2-cCegQIABAA&oq=fractales+naturaleza+rayos&gs_lcp=CgNpbWcQAzoECAAQHjoGCAAQBRAeOgYIABAIEB5Qj8kCWLDQAmCZ0QJoAHAAeACAAa4BiAGIBpIBAzAuNZgBAKABAaoBC2d3cy13aXotaW1n&sclient=img&ei=d6EFX5z4NKLylwSP2pjwDw&bih=625&biw=1366#imgrc=qwHUPYejvmJH_M

https://www.google.es/search?q=paradoja+de+la+costa&sxsrf=ALeKk03Aj6QhlI4GEMcxmTuHV0WQqPA86Q:1594208229590&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwi01uO5yL3qAhWPzIUKHZO5BVsQ_AUoAXoECA8QAw&biw=1366&bih=625#imgrc=vA1sVL8Uzs2ggM

https://www.google.es/search?q=fractales+naturaleza+hoja&tbm=isch&ved=2ahUKEwjlvfXtur3qAhVP0oUKHWQ6AHsQ2-cCegQIABAA&oq=fractales+naturaleza+hoja&gs_lcp=CgNpbWcQA1DhswJYuLcCYPO5AmgAcAB4AIABzgGIAZYFkgEFMC4zLjGYAQCgAQGqAQtnd3Mtd2l6LWltZw&sclient=img&ei=pKEFX-XbMs-klwTk9IDYBw&bih=625&biw=1366#imgrc=cSzisWdZ5REQ1M

https://www.google.es/search?q=conjunto+de+mandelbrot&tbm=isch&ved=2ahUKEwiYxfqBu73qAhVHwoUKHa81AzQQ2-cCegQIABAA&oq=conjunto+d&gs_lcp=CgNpbWcQARgAMgQIABBDMgQIABBDMgQIABBDMgQIABBDMgIIADICCAAyAggAMgIIADICCAAyAggAOgQIIxAnOgUIABCxA1C40gNYhN0DYPniA2gAcAB4AYABowKIAdwRkgEFMC4zLjeYAQCgAQGqAQtnd3Mtd2l6LWltZw&sclient=img&ei=zqEFX5imNMeElwSv64ygAw&bih=625&biw=1366#imgrc=j_b7LYAXD7f6eM

https://www.google.es/search?q=triangulo+de+sierpinski&tbm=isch&ved=2ahUKEwj1jaysu73qAhVI0IUKHcHyDPoQ2-cCegQIABAA&oq=triangulo+de+si&gs_lcp=CgNpbWcQARgAMgIIADICCAAyAggAMgIIADICCAAyAggAMgIIADICCAAyAggAMgIIADoHCAAQsQMQQzoECAAQQ1CsAliJCmCXEWgAcAB4AIABwAGIAYkHkgEDMC42mAEAoAEBqgELZ3dzLXdpei1pbWc&sclient=img&ei=J6IFX7XeLciglwTB5bPQDw&bih=625&biw=1366#imgrc=dMt4mYQg1UJcMM

https://www.google.es/search?q=diagrama+de+feigenbaum&tbm=isch&ved=2ahUKEwjikI-uu73qAhVKEhoKHagFDNAQ2-cCegQIABAA&oq=diagrama+d&gs_lcp=CgNpbWcQARgAMgQIIxAnMgQIIxAnMgQIABBDMgQIABBDMgQIABBDMgUIABCxAzIFCAAQsQMyBQgAELEDMgIIADIFCAAQsQM6BwgAELEDEENQ9JQHWLWeB2D8pAdoAHAAeACAAbEBiAHQC5IBBDAuMTCYAQCgAQGqAQtnd3Mtd2l6LWltZw&sclient=img&ei=K6IFX6LPHMqkaKiLsIAN&bih=625&biw=1366#imgrc=YvJ_jETykMXISM

https://www.google.es/search?q=ecuaciones+de+lorenz&tbm=isch&ved=2ahUKEwiUxu_nu73qAhVawIUKHbaRDk4Q2-cCegQIABAA&oq=ecuaciones+de+lorenz&gs_lcp=CgNpbWcQAzIECCMQJzICCAAyBggAEAgQHjIECAAQGDIECAAQGDIECAAQGDIECAAQGDoHCAAQsQMQQzoECAAQQzoHCCMQ6gIQJzoFCAAQsQM6CAgAELEDEIMBOgYIABAKEBhQ3sIDWMLiA2Cm5ANoAnAAeAWAAbMCiAGJKpIBCTAuMTEuMTMuMZgBAKABAaoBC2d3cy13aXotaW1nsAEK&sclient=img&ei=pKIFX5TkI9qAlwS2o7rwBA&bih=625&biw=1366#imgrc=YJHrag9x83F2-M

https://www.google.es/search?q=conjunto+de+cantor+dimension&hl=es&sxsrf=ALeKk01_IOXMyg9kmZtQHjaaP4Pj8LYZkw:1594207820413&tbm=isch&source=iu&ictx=1&fir=bdPl6Cn2E-6zIM%252CqqUfYqqF6N72nM%252C%252Fm%252F01v41&vet=1&usg=AI4_-kTLpMiBj2TpWI4Z5u5NKvjSdIDqZw&sa=X&ved=2ahUKEwiHyNX2xr3qAhVBSxoKHZGzCcYQ_B0wCnoECA0QAw&biw=1366&bih=625#imgrc=2XXKk1SEnz3ZXM

https://www.google.es/search?q=atractor+de+lorenz&tbm=isch&ved=2ahUKEwigpoqGvL3qAhUJeRoKHfwzBlMQ2-cCegQIABAA&oq=atrac&gs_lcp=CgNpbWcQARgAMgQIABBDMgIIADIECAAQAzICCAAyAggAMgIIADICCAAyAggAMgIIADICCAA6BAgjECc6CAgAELEDEIMBOgUIABCxAzoHCAAQsQMQQ1DzkQNY_ZsDYLWiA2gAcAB4AIAB5QGIAaIGkgEFMC40LjGYAQCgAQGqAQtnd3Mtd2l6LWltZw&sclient=img&ei=46IFX-CoOYnyafznmJgF&bih=625&biw=1366#imgrc=f3aen_FAp9q2cM

https://wiki.tfes.org/Three_Body_Problem

Bibliografía recomendable:

“La Geometría fractal de la Naturaleza” de Benoit Mandelbrot

“Las teorías del caos y la complejidad” de Régules Ruiz-Funes

“Complejidad: el caos como generador del orden” de Roger Lewin

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[1] Un péndulo doble simple es un péndulo simple del que cuelga otro péndulo simple. El problema de los tres cuerpos fue un problema que tardó más de dos siglos en resolverse y era exponencialmente más complicado que el problema de los dos cuerpos. Aunque de primeras pueda parecer que el péndulo doble o el problema de los tres cuerpos son sencillos por incluir pocos elementos, un planteamiento inicial del problema muestra que es muy complicado.

[2] El tiempo meteorológico y el clima son distintos, sí se puede predecir el clima de dentro de unas décadas, el tiempo más allá de unos días no.

[3] La condición de que el parámetro de control pueda adoptar ese rango de valores es necesaria para que el valor de la población de insectos x_k tenga sentido físico: valga entre 0 y 1.

[4] Un punto matemático tiene dimensión cero, una recta uno, una superfície dos y un volumen tres, mientras que un fractal tiene por dimensión un número decimal, lo cual no tiene sentido intuitivo. Se argumenta que el objeto fractal no llena todo el espacio topológico y deja huecos y que por ello tiene dimensión no entera.

[5] Los sistemas complejos son aquellos en que el todo es más que la suma de las partes debido a la interacción entre las partes y surgen las llamadas propiedades emergentes o colectivas.